完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(\frac{1}{y}+2x\right)dx+\left(-2y-\frac{x}{y^2}\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=2}$, ${\displaystyle y=2}$)

■答

${\displaystyle y^3+\left(1-x\right)xy-3x+2=0}$

■ヒント

完全微分方程式の特殊解

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の解で初期条件 ${\displaystyle x=a}$, ${\displaystyle y=b}$を満たすものは

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=0}$  ･･････(1)

■解き方

初期条件より${\displaystyle a=2}$, ${\displaystyle b=2}$ として，公式(1)を利用すると

${\displaystyle \underset{2}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(\frac{1}{y}+2x\right)dx}$${\displaystyle +\underset{2}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(-2y-\frac{2}{y^2}\right)dy}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle {\left[\frac{x}{y}+x^2\right]}_2^x+{\left[-y^2+\frac{2}{y}\right]}_2^y=0}$

${\displaystyle \frac{x}{y}+x^2-\left(\frac{2}{y}+4\right)-y^2+\frac{2}{y}}$${\displaystyle -\left(-4+1\right)}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle x^2-y^2+\frac{x}{y}-1=0}$

両辺に${\displaystyle -y}$をかけて，式を整理すると

${\displaystyle y^3+\left(1-x^2\right)y-x=0}$

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>微分方程式>>完全微分方程式に関する問題>> ${\displaystyle \left(\frac{1}{y}+2x\right)dx+\left(-2y-\frac{x}{y^2}\right)dy=0}$ (${\displaystyle x=2,y=2}$ )

最終更新日： 2023年6月16日