完全微分方程式に関する問題

■問題

次の完全微分方程式を（　）内の初期条件のもとで解け

${\displaystyle \left(e^x\sin y\right)dx+\left(e^x\cos y+\sin y\right)dy=0}$

(${\displaystyle x=0}$, ${\displaystyle y=\frac{\pi }{2}}$)

■答

${\displaystyle e^x\sin y-\cos y-1=0}$

■ヒント

完全微分方程式の特殊解

完全微分方程式${\displaystyle Pdx+Qdy=0}$の解で初期条件 ${\displaystyle x=\mathrm{a}}$, ${\displaystyle y=\mathrm{b}}$を満たすものは

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_a^{x}P\left(x,y\right)dx+}{\displaystyle {\int }_b^{y}Q\left(a,y\right)dy}=0}$  ･･････(1)

■解き方

初期条件より${\displaystyle a=0}$, ${\displaystyle b=\frac{\pi }{2}}$として，公式(1)を利用すると

${\displaystyle \underset{0}{\overset{x}{{\displaystyle \int }}}\left(e^x\sin y\right)dx}$${\displaystyle +\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{y}{{\displaystyle \int }}}\left(\cos y+\sin y\right)dy}$${\displaystyle =0}$

${\displaystyle {\left[e^x\sin y\right]}_0^x+{\left[\sin y-\cos y\right]}_{\frac{\pi }{2}}^y=0}$

${\displaystyle e^x\sin y-\sin y+\sin y-\cos y}$${\displaystyle }$${\displaystyle -\left(\sin \frac{\pi }{2}-\cos \frac{\pi }{2}\right)=0}$

${\displaystyle e^x\sin y-\cos y-1=0}$

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最終更新日： 2023年6月16日