変数分離形微分方程式に関する問題

${\displaystyle {\displaystyle \int \left({\tan }^{-1}y\right)dy}}$  

この式に1が掛けられていると考えて部分積分をする

${\displaystyle {\displaystyle \int 1\cdot }\left({\tan }^{-1}y\right)dy}$${\displaystyle ={{\displaystyle \int \left(y\right)}}^{\prime }\left({\tan }^{-1}y\right)dy}$

${\displaystyle =y\left({\tan }^{-1}y\right)-{\displaystyle \int y\frac{1}{y^2+1}dy}}$

次に

${\displaystyle {\displaystyle \int y\frac{1}{y^2+1}dy}}$  

を考える．

${\displaystyle y^2+1=t}$  とおいて置換積分をすると

${\displaystyle \frac{dt}{dy}=2y}$  

${\displaystyle ydy=\frac{dt}{2}}$  

となるので

よって

となる．

 

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最終更新日： 2023年6月18日