変数分離形微分方程式に関する問題

${\displaystyle \int \left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx}$  

この式を変形すると

${\displaystyle x=\sqrt{2}\sin \theta }$ ${\displaystyle \left(-\frac{\pi }{2}\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}\right)}$  ･･････(2)とおき置換積分をする，両辺を微分すると

${\displaystyle dx=\sqrt{2}\cos \theta d\theta }$  

となる．

よって(1)式は

${\displaystyle -{\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-x^2}}dx}}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\sin \theta \right)}^2}}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2-2{\sin }^2\theta }}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2\left(1-{\sin }^2\theta \right)}}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2}\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int \frac{\sqrt{2}\cos \theta }{\sqrt{2}\cos \theta }d\theta }}$

${\displaystyle =-{\displaystyle \int d\theta }}$

${\displaystyle =-\theta }$

(2)式を${\displaystyle \theta }$ についての式に変形すると（詳しくはこちら）

${\displaystyle \theta ={\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}}$  

となる．よって

${\displaystyle \int \left(-\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\right)dx=-{\sin }^{-1}\frac{x}{\sqrt{2}}}$  

 

 

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最終更新日： 2022年5月4日