変数分離形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式を(　)内の初期条件で解け

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}}$      (${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)

■答

${\displaystyle {tan}^{-1}y={sin}^{-1}x+\frac{\pi }{6}}$  

■ヒント

変数分離形方程式の解法 その３ のように形式的な変形をする

${\displaystyle g(y)dy=f(x)dx}$

両辺を積分して

${\displaystyle \int g(y)dy=\int f(x)dx+C}$

求めた微分方程式に初期条件(${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)を代入

■解き方

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1+y^2}{\sqrt{1-x^2}}}$      (${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)

両辺に${\displaystyle dx}$ をかける

${\displaystyle \frac{1}{1+y^2}dy=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}$

両辺を積分すると

⇒左辺の積分方法はこちら

⇒右辺の積分方法はこちら

${\displaystyle {\displaystyle \int \frac{1}{1+y^2}dy}={\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}+C}$ （${\displaystyle C}$ は任意定数）

${\displaystyle {tan}^{-1}y={sin}^{-1}x+C}$ 　　　　･･･(1)

この式に初期条件(${\displaystyle y=\sqrt{3}}$,${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$)を代入すると

${\displaystyle \frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{6}+C}$

${\displaystyle C=\frac{\pi }{6}}$

よって，(1)に代入すると

${\displaystyle {tan}^{-1}y={sin}^{-1}x+\frac{\pi }{6}}$

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最終更新日： 2023年11月20日