同次形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle x\frac{dy}{dx}=x+y}$

■答

${\displaystyle y=x\left(\log \left|x\right|+C\right)}$　(ただし${\displaystyle C}$ は任意定数)

■ヒント

同次形微分方程式 を参照

■解き方

${\displaystyle x\frac{dy}{dx}=x+y}$　･･････(1)

(1)の両辺を${\displaystyle x}$で割ると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=1+\frac{y}{x}}$　･･････(2)

${\displaystyle \frac{y}{x}=v}$　･･････(3) とおく．すなわち

${\displaystyle y=vx}$

これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}}$　･･････(4)

(3)，(4)を(2)に代入すると

${\displaystyle v+x\frac{dv}{dx}=1+v}$

${\displaystyle x\frac{dv}{dx}=1}$

${\displaystyle \frac{dv}{dx}=\frac{1}{x}}$

${\displaystyle dv=\frac{1}{x}dx}$

両辺を積分すると

${\displaystyle {\displaystyle \int dv}={\displaystyle \int \frac{1}{x}dx}+C}$

(ただし${\displaystyle C}$は任意定数)

${\displaystyle v=\log \left|x\right|+C}$

${\displaystyle v}$ を元(${\displaystyle v=\frac{y}{x}}$)に戻すと

${\displaystyle \frac{y}{x}=\log \left|x\right|+C}$

整理して

${\displaystyle y=x\left(\log \left|x\right|+C\right)}$

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最終更新日： 2023年6月19日