2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y^{\prime }+2y=0}$

■答

${\displaystyle y=e^{-x}\left(c_{1}sinx+c_{2}cosx\right)}$　　（ただし${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数） 　

■ヒント

特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2+2t+2=0}$

となる．

■解き方

${\displaystyle t^2+2t+2=0}$

${\displaystyle t=-1\pm \sqrt{1^2-2}}$

${\displaystyle =-1\pm i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=e^{-x}\left(c_{1}sinx+c_{2}cosx\right)}$　　(定数係数線形同次微分方程式を参照) 　

${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

　

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最終更新日： 2023年6月20日