2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+y^{\prime }+y=0}$

■答

${\displaystyle y=e^{-\frac{x}{2}}\left(c_{1}cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+c_{2}sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)}$　　　(ただし ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

■ヒント

特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2+t+1=0}$

となる．

■解き方

${\displaystyle t^2+t+1=0}$

${\displaystyle t=-\frac{1}{2}\pm \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=e^{-\frac{x}{2}}\left(c_{1}cos\frac{\sqrt{3}}{2}x+c_{2}sin\frac{\sqrt{3}}{2}x\right)}$　　　(定数係数線形同次微分方程式を参照)

${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

　

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最終更新日： 2023年6月20日