2階線形微分方程式に関する問題

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

yy2y=4 x 2

■答

y=2 x 2 +2x3+ c 1 e 2x + c 2 e x   

(ただし c 1 , c 2 は任意定数)

   

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

t 2 t2=0

となる.

次に,非同次項が 4 x 2 なので与式の特殊解の一つ

y p y p = K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 の形とする.

■解き方

特性方程式を解くと

t 2 t2=0

( t2 )( t+1 )=0

t=2,1

よって一般解

y= c 1 e 2x + c 2 e x      (定数係数線形同次微分方程式を参照)

c 1 , c 2 は任意定数

次に,特殊解を解く

K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 2( K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 ) =4 x 2

2 K 2 2 K 2 x+ K 1 2 K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 =4 x 2

2 K 2 x 2 2 K 2 +2 K 1 x +2 K 2 K 1 2 K 0 =4 x 2

{ 2 K 2 =4 2 K 2 +2 K 1 =0 2 K 2 - K 1 2 K 0 =0

K 2 =2, K 1 =2, K 0 =3

よって

y p =2 x 2 +2x3

以上より

y=2 x 2 +2x3+ c 1 e 2x + c 2 e x

 

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最終更新日: 2023年6月20日