2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=4x^2}$

■答

${\displaystyle y=-2x^2+2x-3+c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}}$ 　　

(ただし ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

　　　

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2-t-2=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle 4x^2}$ なので与式の特殊解の一つ

${\displaystyle y_p}$ は${\displaystyle y_p=K_2{x}^2+K_{1}x+K_0}$ の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと

${\displaystyle t^2-t-2=0}$

${\displaystyle \left(t-2\right)\left(t+1\right)=0}$

${\displaystyle t=2,-1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}}$ 　　　　　(定数係数線形同次微分方程式を参照)

${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}^{″}}$ ${\displaystyle -{\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}^{\prime }}$ ${\displaystyle -2\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}$ $=4x^2$

${\displaystyle 2K_2-\left(2K_{2}x+K_1\right)}$${\displaystyle -2\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}$ ${\displaystyle =4x^2}$

${\displaystyle -2K_2{x}^2-\left(2K_2+2K_1\right)x}$ ${\displaystyle +2K_2-K_1-2K_0}$ ${\displaystyle =4x^2}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}-2K_2=4\\ 2K_2+2K_1=0\\ 2K_2-K_1-2K_0=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=-2,K_1=2,K_0=-3}$

よって

${\displaystyle y_p=-2x^2+2x-3}$

以上より

${\displaystyle y=-2x^2+2x-3+c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}}$

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>2階線形微分方程式に関する問題>>問題

最終更新日： 2023年6月20日