次の微分方程式の一般解を求めなさい.
y″−y′−2y=4 x 2
y=−2 x 2 +2x−3+ c 1 e 2x + c 2 e −x
(ただし c 1 , c 2 は任意定数)
まず,特性方程式を立てると
t 2 −t−2=0
となる.
次に,非同次項が 4 x 2 なので与式の特殊解の一つ
y p は y p = K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 の形とする.
( t−2 )( t+1 )=0
t=2,−1
y= c 1 e 2x + c 2 e −x (定数係数線形同次微分方程式を参照)
c 1 , c 2 は任意定数
次に,特殊解を解く
K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 ″ − K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 ′ −2( K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 ) =4 x 2
2 K 2 − 2 K 2 x+ K 1 −2 K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 =4 x 2
−2 K 2 x 2 − 2 K 2 +2 K 1 x +2 K 2 − K 1 −2 K 0 =4 x 2
{ −2 K 2 =4 2 K 2 +2 K 1 =0 2 K 2 - K 1 −2 K 0 =0
K 2 =−2, K 1 =2, K 0 =−3
y p =−2 x 2 +2x−3
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最終更新日: 2023年6月20日