微分方程式の公式を使った問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+2y=2x^2}$

■答

${\displaystyle y=c_{1}cos\sqrt{2}x+c_{2}sin\sqrt{2}x+x^2-1}$

(ただし ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2+2=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle 2x^2}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$ は

${\displaystyle y_p=K_2{x}^2+K_{1}x+K_0}$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと

${\displaystyle t^2+2=0}$

${\displaystyle t=\pm \sqrt{2}i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_{1}cos\sqrt{2}x+c_{2}sin\sqrt{2}x}$,${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}^{″}+2(K_2{x}^2+K_{1}x}$${\displaystyle +K_0)}$${\displaystyle =2x^2}$

${\displaystyle 2K_2{x}^2+2K_{1}x+2K_2+2K_0=2x^2}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}2K_2=2\\ 2K_1=0\\ 2K_2+2K_0=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=1}$,${\displaystyle K_1=0}$,${\displaystyle K_0=-1}$

よって

${\displaystyle y_p=x^2-1}$

以上より

${\displaystyle y=c_{1}cos\sqrt{2}x+c_{2}sin\sqrt{2}x+x^2-1}$

　

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最終更新日： 2023年6月20日