2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }=-3x^2}$

■答

${\displaystyle y=x^3+3x^2+6x+c_1{e}^x+c_2}$

(ただし${\displaystyle c_1,c_2}$は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2-t=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle -3x^2}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$は

${\displaystyle y_p=x\left(K_2{x}^2+K_{1}x+K_0\right)}$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと,

${\displaystyle t^2-t=0}$

${\displaystyle t\left(t-1\right)=0}$

${\displaystyle t=0,1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^x+c_2}$  ,${\displaystyle c_1,c_2}$は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left(K_2{x}^3+K_1{x}^2+K_{0}x\right)}^{″}}$${\displaystyle -(K_2{x}^3}$${\displaystyle +K_1{x}^2}$${\displaystyle {+K_{0}x)}^{\prime }}$${\displaystyle =-3x^2}$

${\displaystyle -3K_2{x}^2+x\left(6K_2-2K_1\right)+2K_1-K_0}$${\displaystyle =-3x^2}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}-3K_2=-3\\ 6K_2-2K_1=0\\ 2K_1-K_0=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=1}$,${\displaystyle K_1=3}$,${\displaystyle K_0=6}$

よって

${\displaystyle y_p=x^3+3x^2+6x}$

以上より

${\displaystyle y=x^3+3x^2+6x+c_1{e}^x+c_2}$

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最終更新日： 2023年6月20日