2階線形微分方程式に関する問題

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

y y =3 x 2

■答

y= x 3 +3 x 2 +6x+ c 1 e x + c 2

(ただし c 1 , c 2 は任意定数)

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

t 2 t=0

となる.

次に,非同次項が 3 x 2 なので与式の特殊解の一つ y p

y p =x( K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 )

の形とする.

■解き方

特性方程式を解くと,

t 2 t=0

t( t1 )=0

t=0,1

よって一般解

y= c 1 e x + c 2   , c 1 , c 2 は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に,特殊解を解く

( K 2 x 3 + K 1 x 2 + K 0 x ) ( K 2 x 3 + K 1 x 2 + K 0 x ) =3 x 2

3 K 2 x 2 +x( 6 K 2 2 K 1 )+2 K 1 K 0 =3 x 2

{ 3 K 2 =3 6 K 2 2 K 1 =0 2 K 1 K 0 =0

K 2 =1 , K 1 =3 , K 0 =6

よって

y p = x 3 +3 x 2 +6x

以上より

y= x 3 +3 x 2 +6x+ c 1 e x + c 2

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最終更新日: 2023年6月20日