次の微分方程式の一般解を求めなさい.
y ″ − y ′ =−3 x 2
y= x 3 +3 x 2 +6x+ c 1 e x + c 2
(ただし c 1 , c 2 は任意定数)
まず,特性方程式を立てると
t 2 −t=0
となる.
次に,非同次項が −3 x 2 なので与式の特殊解の一つ y p は
y p =x( K 2 x 2 + K 1 x+ K 0 )
の形とする.
特性方程式を解くと,
t( t−1 )=0
t=0,1
よって一般解は
y= c 1 e x + c 2 , c 1 , c 2 は任意定数
(定数係数線形同次微分方程式を参照)
次に,特殊解を解く
( K 2 x 3 + K 1 x 2 + K 0 x ) ″ −( K 2 x 3 + K 1 x 2 + K 0 x ) ′ =−3 x 2
−3 K 2 x 2 +x( 6 K 2 −2 K 1 )+2 K 1 − K 0 =−3 x 2
{ −3 K 2 =−3 6 K 2 −2 K 1 =0 2 K 1 − K 0 =0
K 2 =1 , K 1 =3 , K 0 =6
よって
y p = x 3 +3 x 2 +6x
以上より
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最終更新日: 2023年6月20日