2階線形微分方程式に関する問題

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

y y 2y=4 e 3x

■答

y= c 1 e 2x + c 2 e x + e 3x

(ただし c 1 , c 2 は任意定数)

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

t 2 t2=0

となる.

次に,非同次項が 4 e 3x なので与式の特殊解の一つ y p

y p = K 2 e 3x

の形とする.

■解き方

特性方程式を解くと

t 2 t2=0

( t2 )( t+1 )=0

t=2,1

よって一般解

y= c 1 e 2x + c 2 e x   , c 1 , c 2 は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に,特殊解を解く

( K 2 e 3x ) ( K 2 e 3x ) 2( K 2 e 3x ) =4 e 3x

9 K 2 e 3x 3 K 2 e 3x 2 K 2 e 3x =4 e 3x

4 K 2 e 3x =4 e 3x

K 2 =1

よって

y p = e 3x

以上より

y= c 1 e 2x + c 2 e x + e 3x

 

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最終更新日: 2023年6月20日