次の微分方程式の一般解を求めなさい.
y ″ − y ′ −2y=4 e 3x
y= c 1 e 2x + c 2 e −x + e 3x
(ただし c 1 , c 2 は任意定数)
まず,特性方程式を立てると
t 2 −t−2=0
となる.
次に,非同次項が 4 e 3x なので与式の特殊解の一つ y p は
y p = K 2 e 3x
の形とする.
( t−2 )( t+1 )=0
t=2,−1
y= c 1 e 2x + c 2 e −x , c 1 , c 2 は任意定数
(定数係数線形同次微分方程式を参照)
次に,特殊解を解く
( K 2 e 3x ) ″ − ( K 2 e 3x ) ′ −2( K 2 e 3x ) =4 e 3x
9 K 2 e 3x −3 K 2 e 3x −2 K 2 e 3x =4 e 3x
4 K 2 e 3x =4 e 3x
K 2 =1
よって
y p = e 3x
以上より
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最終更新日: 2023年6月20日