2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}+4y=4\cos 2x}$

■答

${\displaystyle y=xsin2x+c_{2}sin2x+c_{1}cos2x}$

(ただし${\displaystyle c_1,c_2}$は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2+4=0}$

となる．

次に,非同次項が${\displaystyle 4cos2x}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$ は

${\displaystyle y_p=x\left(K_{2}sin2x+K_{1}cos2x\right)}$

の形とする．

■解き方

まず特性方程式を解くと

${\displaystyle t^2+4=0}$

${\displaystyle t=\pm 2i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_{2}sin2x+c_{1}cos2x}$, ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left(K_{2}x\sin 2x+K_{1}x\cos 2x\right)}^{″}}$${\displaystyle +4(K_{2}x\sin 2x}$${\displaystyle +K_{1}x\cos 2x)}$${\displaystyle =4\cos 2x}$

${\displaystyle 4K_{2}cos2x-4K_{1}sin2x=4cos2x}$

${\displaystyle K_2=1}$,${\displaystyle K_1=0}$

よって

${\displaystyle y_p=xsin2x}$

以上より

${\displaystyle y=xsin2x+c_{2}sin2x+c_{1}cos2x}$

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最終更新日： 2023年6月20日