2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=18x{e}^{2x}}$

■答

${\displaystyle y=\left(3x^2-2x\right)e^{2x}+c_2{e}^{2x}+c_1{e}^{-x}}$

(ただし${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2-t-2=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle 18x{e}^{2x}}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$は

${\displaystyle y_p=\left(K_2{x}^2+K_{1}x\right)e^{2x}}$

の形とする．

■解き方

まず特性方程式を解くと

${\displaystyle t^2-t-2=0}$

${\displaystyle \left(t-2\right)\left(t+1\right)=0}$

${\displaystyle t=2,-1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_2{e}^{2x}+c_1{e}^{-x}}$,${\displaystyle c_1,c_2}$は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left\{\left(K_2{x}^2+K_{1}x\right)e^{2x}\right\}}^{″}}$${\displaystyle -\{(K_2{x}^2}$${\displaystyle {+K_{1}x)e^{2x}\}}^{\prime }}$${\displaystyle -2\{(K_2{x}^2}$${\displaystyle +K_{1}x)e^{2x}\}}$${\displaystyle =18x{e}^{2x}}$

${\displaystyle 2K_2{e}^{2x}+6K_{2}x{e}^{2x}+3K_1{e}^{2x}=18x{e}^{2x}}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}6K_2=18\\ 2K_2+3K_1=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=3}$,${\displaystyle K_1=-2}$

よって

${\displaystyle y_p=\left(3x^2-2x\right)e^{2x}}$

以上より

${\displaystyle y=\left(3x^2-2x\right)e^{2x}+c_2{e}^{2x}+c_1{e}^{-x}}$

　

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最終更新日： 2023年6月20日