2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-2y^{\prime }+2y=2e^x\cos 2x}$

■答

(ただし${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2-2t+2=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle 2e^{x}cos2x}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$ は

${\displaystyle y_p=e^x\left(K_{2}cos2x+K_{1}sin2x\right)}$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと

${\displaystyle t^2-2t+2=0}$

${\displaystyle t=1\pm i}$

よって一般解は

${\displaystyle y=e^x\left(c_{2}cosx+c_{1}sinx\right)}$, ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left\{e^x\left(K_2\cos 2x+K_1\sin 2x\right)\right\}}^{″}}$${\displaystyle -2\{e^x(K_2\cos 2x}$${\displaystyle {+K_1\sin 2x)\}}^{\prime }}$${\displaystyle +2\{e^x(K_2\cos 2x}$${\displaystyle +K_1\sin 2x)\}}$${\displaystyle =2e^x\cos 2x}$

${\displaystyle e^x\left(-3K_2\cos 2x-3K_1\sin 2x\right)}$${\displaystyle =2e^x\cos 2x}$

${\displaystyle \{\begin{array}{l}-3K_2=2\\ -3K_1=0\end{array}}$

${\displaystyle K_2=-\frac{2}{3}}$,${\displaystyle K_1=0}$

よって

${\displaystyle y_p=-\frac{2}{3}{e}^{x}cos2x}$

以上より

　

ホーム>>カテゴリー分類>>微分>>2階線形微分方程式に関する問題>>問題

最終更新日： 2023年6月20日