2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

${\displaystyle y^{″}-y^{\prime }-2y=9e^{2x}}$

■答

${\displaystyle y=c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}+3x{e}^{2x}}$

(ただし${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数)

■ヒント

まず，特性方程式を立てると

${\displaystyle t^2-t-2=0}$

となる．

次に，非同次項が${\displaystyle 9e^{2x}}$ なので与式の特殊解の一つ ${\displaystyle y_p}$は

${\displaystyle y_p=Kx{e}^{2x}}$

の形とする．

■解き方

特性方程式を解くと

${\displaystyle t^2-t-2=0}$

${\displaystyle \left(t-2\right)\left(t+1\right)=0}$

${\displaystyle t=2,-1}$

よって一般解は

${\displaystyle y=c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}}$, ${\displaystyle c_1,c_2}$ は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に，特殊解を解く

${\displaystyle {\left(Kx{e}^{2x}\right)}^{″}-{\left(Kx{e}^{2x}\right)}^{\prime }-2\left(Kx{e}^{2x}\right)}$${\displaystyle =9e^{2x}}$

${\displaystyle 3K{e}^{2x}=9e^{2x}}$

${\displaystyle 3K=9}$

${\displaystyle K=3}$

よって

${\displaystyle y_p=3x{e}^{2x}}$

以上より

${\displaystyle y=c_1{e}^{2x}+c_2{e}^{-x}+3x{e}^{2x}}$

　

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最終更新日： 2023年6月20日