2階線形微分方程式に関する問題

2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式一般解を求めなさい.

y + y 2y= e x +2x

■答

y = c 1 e x + c 2 x e 2x + 1 3 x e x x 1 2

(ただし c 1 , c 2 は任意定数)

■ヒント

まず,特性方程式を立てると

t 2 +t2t=0

となる.

次に,非同次項が e x t=1 の解に対応している.よって与式の特殊解の一つ y p

y p = c 1 x e x + c 2 x+ c 3

の形とする.

■解き方

特性方程式を解くと,

t 2 +t2t=0

( t+2 )( t1 )=0

t=1,2

よって一般解

y= c 1 e x + c 2 e 2x , c 1 , c 2 は任意定数

(定数係数線形同次微分方程式を参照)

次に,非同次項が e x t=1 の解に対応している.よって与式の特殊解の一つ y p

y p = c 1 x e x + c 2 x+ c 3

の形とする.

y p = c 1 e x + c 1 x e x + c 2

y p =2 c 1 e x + c 1 x e x

y + y 2y= e x +2x y , y y p , y p を代入する.

( 2 c 1 e x + c 1 x e x )+( c 1 e x + c 1 x e x + c 2 ) 2( c 1 x e x + c 2 x+ c 3 )= e x +2x

3 c 1 e x 2 c 2 x+ c 2 2 c 3 = e x +2x

{ 3 c 1 =1 2 c 2 =2 c 2 2 c 3 =0

c 1 = 1 3 , c 2 =1 , c 3 = 1 2 よって y p = 1 3 x e x x 1 2

以上より

y = c 1 e x + c 2 x e 2x + 1 3 x e x x 1 2

 

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最終更新日: 2023年6月20日