2階線形微分方程式に関する問題

■問題

次の微分方程式の一般解を求めなさい．

$y^{″} + y^{'} - 2 y = e^{x} + 2 x$

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{3} x e^{x} - x - \frac{1}{2}$

(ただし $c_{1}, c_{2}$ は任意定数)

まず，特性方程式を立てると

$t^{2} + t - 2 t = 0$

となる．

次に，非同次項が $e^{x}$ は $t = 1$ の解に対応している．よって与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = c_{1} x e^{x} + c_{2} x + c_{3}$

の形とする．

$t^{2} + t - 2 t = 0$

$(t + 2) (t - 1) = 0$

$t = 1, - 2$

よって一般解は

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} e^{- 2 x}$ , $c_{1}, c_{2}$ は任意定数

次に，非同次項が $e^{x}$ は $t = 1$ の解に対応している．よって与式の特殊解の一つ $y_{p}$ は

$y_{p} = c_{1} x e^{x} + c_{2} x + c_{3}$

の形とする．

$y_{p}^{'} = c_{1} e^{x} + c_{1} x e^{x} + c_{2}$

$y_{p}^{″} = 2 c_{1} e^{x} + c_{1} x e^{x}$

$y^{″} + y^{'} - 2 y = e^{x} + 2 x$ の $y^{″}, y^{'}$ に $y_{p}^{″}, y_{p}^{'}$ を代入する．

$(2 c_{1} e^{x} + c_{1} x e^{x}) + (c_{1} e^{x} + c_{1} x e^{x} + c_{2})$ $- 2 (c_{1} x e^{x}$ $+ c_{2} x + c_{3}) = e^{x} + 2 x$

$3 c_{1} e^{x} - 2 c_{2} x + c_{2} - 2 c_{3} = e^{x} + 2 x$

${\begin{cases} 3 c_{1} = 1 \\ - 2 c_{2} = 2 \\ c_{2} - 2 c_{3} = 0 \end{cases}$

$c_{1} = \frac{1}{3}$ , $c_{2} = - 1$ , $c_{3} = - \frac{1}{2}$ よって $y_{p} = \frac{1}{3} x e^{x} - x - \frac{1}{2}$

以上より

$y = c_{1} e^{x} + c_{2} x e^{- 2 x} + \frac{1}{3} x e^{x} - x - \frac{1}{2}$

最終更新日： 2023年6月20日