微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{D+2}cos3x+i\frac{1}{D+2}sin3x}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{13}\left(2\cos 3x+3\sin 3x\right)+\frac{i}{13}(2\sin 3x}$${\displaystyle -3\cos 3x)}$

■ヒント

逆演算子の公式を用いる．

${\displaystyle \frac{1}{D+2}\left(cos3x+isin3x\right)}$

■解き方

${\displaystyle \frac{1}{D+2}cos3x+i\frac{1}{D+2}sin3x}$

${\displaystyle =\frac{1}{D+2}\left(cos3x+isin3x\right)}$

(オイラーの公式 ${\displaystyle e^{i\theta }=cos\theta +isin\theta }$)

${\displaystyle =\frac{1}{D+2}{e}^{3ix}}$

(この公式を参照)

${\displaystyle =\frac{1}{3i+2}{e}^{3ix}}$

${\displaystyle =\frac{2-3i}{13}\left(cos3x+isin3x\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{13}\left(2\cos 3x+3\sin 3x\right)+\frac{i}{13}(2\sin 3x}$${\displaystyle -3\cos 3x)}$

　

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最終更新日： 2023年6月28日