微分演算子，逆演算子に関する問題

■問題

次の計算をせよ．

${\displaystyle \frac{1}{D+2}{x}^3}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}}$

■ヒント

逆演算子の公式を用いて解く．公式が活用できるように，以下のように逆演算子を変形するとよい．このマクローリン展開の問題例が参考になる．

${\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{D}{2}}{x}^3}$

■解き方

これを解くと,

${\displaystyle \frac{1}{D+2}{x}^3}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+\frac{D}{2}}{x}^3}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(1-\frac{D}{2}+\frac{D^2}{4}-\frac{D^3}{8}+\cdots \right)x^3}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}\left(x^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{6}{4}x-\frac{6}{8}\right)}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{4}{x}^2+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}}$

　

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最終更新日： 2023年6月29日