式の導出

逆演算子 ${\displaystyle \frac{1}{1-aD}}$ は

${\displaystyle \frac{1}{1-aD}}$${\displaystyle =1+aD+a^2{D}^2+a^3{D}^3+\cdot \cdot \cdot }$　･･････(1)

のようにべき級数展開できる． 

■導出

${\displaystyle \frac{1}{1-t}}$ をマクローリン展開すると

${\displaystyle \frac{1}{1-t}=1+t+t^2+t^3+\cdots }$ 　･･････(2)

となる．(2)より

${\displaystyle \left(1-t\right)\left(1+t+t^2+t^3+\cdots \right)=1}$　･･････(3)

(3)が成り立つ．微分演算子は，多項式と同様に，和，差，定数倍，積が成り立つので，(3)の${\displaystyle t}$ を${\displaystyle aD}$ に書きかえた

も成立する．${\displaystyle F\left(x\right)}$ に(4)の両辺の微分演算子をほどこすと

となる．以下のように微分演算子の計算を進める．

${\displaystyle \left\{1+aD+{\left(aD\right)}^2+{\left(aD\right)}^3+\cdots \right\}F\left(x\right)}$ は${\displaystyle x}$ の関数で

逆演算子の考えを用いて(5)を書き直すと

が得られ，したがって

${\displaystyle \frac{1}{1-aD}}$${\displaystyle =1+aD+a^2{D}^2+a^3{D}^3+\cdot \cdot \cdot }$　･･････(7)

となる．

 

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　最終更新日： 2024年10月7日