微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\sqrt[4]{3x^2-2x+1}}$

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■答

${\displaystyle y^{\prime }={\displaystyle \frac{3x-1}{2\sqrt[4]{{\left(3x^2-2x+1\right)}^3}}}}$  

■ヒント

合成関数の微分より

${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$

の公式を用いる．

■解説

${\displaystyle y=\sqrt[4]{3x^2-2x+1}}$

(計算しやすいよう，式を指数を用いた形に変形する． $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ ⇒ここを参照)

${\displaystyle ={\left(3x^2-2x+1\right)}^{\frac{1}{4}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{4}{\left(3x^2-2x+1\right)}^{-\frac{3}{4}}\left(6x-2\right)}$

${\displaystyle =\frac{2\left(3x-1\right)}{4\sqrt[4]{{\left(3x^2-2x+1\right)}^3}}}$ （ ${\displaystyle a^{-r}=\frac{1}{a^r}}$ ⇒ここを参照）

${\displaystyle =\frac{3x-1}{2\sqrt[4]{{\left(3x^2-2x+1\right)}^3}}}$

●別解

${\displaystyle y=\sqrt[4]{3x^2-2x+1}}$

を

${\displaystyle y=\sqrt[4]{u}=u^{\frac{1}{4}}}$ ， ${\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle u=3x^2-2x+1}}}$

とおく．

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{1}{4}{u}^{\frac{1}{4}-1}=\frac{1}{4}{u}^{-\frac{3}{4}}}$

${\displaystyle \frac{du}{dx}={\left(3x^2-2x+1\right)}^{\prime }=6x-2}$

合成関数の微分の公式 ${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$ を適用する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{4}{u}^{-\frac{3}{4}}\cdot \left(6x-2\right)}$ ${\displaystyle =\frac{2\left(3x-1\right)}{4\sqrt[4]{{\left(3x^2-2x+1\right)}^3}}}$

( ${\displaystyle u=3x^2-2x+1}$ と置き換えていたのを元に戻す)

${\displaystyle =\frac{3x-1}{2\sqrt[4]{{\left(3x^2-2x+1\right)}^3}}}$

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最終更新日： 2025年2月20日