微分の計算問題

■問題

次の関数を微分せよ．

${\displaystyle y=log\left(sinx\right)}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{\tan x}}$

■ヒント

合成関数の微分の公式を用いて解く．

■解説

${\displaystyle y=log\left(sinx\right)}$

${\displaystyle logx}$ の微分の公式を用いる．

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{sinx}·{\left(sinx\right)}^{\prime }}$　（ ${\displaystyle \sin x}$ の微分 ⇒ こちら）

${\displaystyle =\frac{1}{sinx}·cosx}$

${\displaystyle =\frac{cosx}{sinx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\tan x}}$${\displaystyle =\cot x}$

(三角関数の相互関係，三角関数の定義を参照．)

合成関数の導関数において，${\displaystyle y=f\left(u\right)=\log u}$ ，${\displaystyle u=g\left(x\right)=\sin x}$ とと考え，公式${\displaystyle {\left\{f\left(g\left(x\right)\right)\right\}}^{\prime }=f^{\prime }\left(g\left(x\right)\right)·g^{\prime }\left(x\right)}$を用いている．）

●公式$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}·\frac{du}{dx}$ を用いる場合

${\displaystyle \frac{dy}{du}=\frac{d}{du}\log u=\frac{1}{u}}$ 　ここを参照

${\displaystyle \frac{du}{dx}=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x}$ 　ここを参照

よって

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{1}{u}\cdot \cos x}$ ${\displaystyle =\frac{\cos x}{\sin x}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{\tan x}}$ ${\displaystyle =\cot x}$

　

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最終更新日： 2024年7月13日