微分の計算問題

■問題

次の問題を微分せよ．

${\displaystyle y=\tan 2x}$

■答

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$

■ヒント

tanxの微分と合成関数の微分の公式を利用して解く．

■解説

${\displaystyle y=\tan 2x}$

${\displaystyle y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}2x}·{\left(2x\right)}^{\prime }}$

${\displaystyle =\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$

（${\displaystyle y=\tan u=f(u)}$ ，${\displaystyle u=2x=g(x)}$ と考えている．）

●${\displaystyle \tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}$ と書き変えて計算する場合

${\displaystyle {\left(\tan x\right)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}}$ を忘れている場合は，三角関数の相互関係を利用して(1)のように式を書き変えて微分する，

${\displaystyle y=\tan 2x=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}}$　･･････(1)

${\displaystyle y^{\prime }={\left(\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\right)}^{\prime }}$

商の微分の公式を適用して

${\displaystyle =\frac{{\left(\sin 2x\right)}^{\prime }\cos 2x-\sin 2x{\left(\cos 2x\right)}^{\prime }}{{\left(\cos 2x\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2\cos 2x\cos 2x-\sin 2x\left(-2\sin 2x\right)}{{\cos }^{2}2x}}$

${\displaystyle =\frac{2\left({\cos }^{2}2x-{\sin }^{2}2x\right)}{{\cos }^{2}2x}}$

${\displaystyle =\frac{2\cdot 1}{{\cos }^{2}2x}}$

${\displaystyle =\frac{2}{{\cos }^{2}2x}}$

　

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学生スタッフ作成

最終更新日： 2024年7月12日