陰関数の微分に関する問題

■問題

陰関数の微分法を用いて曲線 ${\displaystyle 4x^2+9y^2-36y=0}$ の ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求め，曲線上の点 ${\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},1\right)}$ における接線方程式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=6t^2\sqrt{t-1}}$

接線の方程式：${\displaystyle y=24x+27}$

■解説

陰関数の微分法より

${\displaystyle 4x^2+9y^2-36y=0}$　･･････(1)

の両辺を$x$ で微分する．

${\displaystyle \frac{d}{dx}\left(4x^2+9y^2-39y\right)=\frac{d}{dx}0}$

${\displaystyle \frac{d}{dx}4x^2+\frac{d}{dx}9y^2-\frac{d}{dx}36y=0}$

${\displaystyle 8x+18y\frac{dy}{dx}-36\frac{dy}{dx}=0}$

${\displaystyle 18\left(y-2\right)\frac{dy}{dx}=-8x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4x}{9\left(y-2\right)}}$　･･････(2)

よって，点${\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},1\right)}$ における接線の傾きは

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{4\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{9\left(1-2\right)}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$　･･････(3)

となる．したがって，接線の方程式は

${\displaystyle y-1=\frac{2\sqrt{3}}{3}\left(x-\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}$

${\displaystyle y=\frac{2\sqrt{3}}{3}x-2}$　･･････(4)

となる．

■備考

(1)を以下のように式変形をする．

${\displaystyle 4x^2+9\left(y^2-4y\right)=0}$

${\displaystyle 4x^2+9\left(y^2-4y+4-4\right)=0}$

${\displaystyle 4x^2+9\left(y^2-4y+4\right)=36}$

${\displaystyle 4x^2+9{\left(y-2\right)}^2=36}$

${\displaystyle \frac{x^2}{3^2}+\frac{{\left(y-2\right)}^2}{2^2}=1}$　･･････(5)

(5)は楕円の方程式になる．(5)をさらに，以下のように式変形をする．

${\displaystyle \frac{{\left(y-2\right)}^2}{2^2}=1-\frac{x^2}{3^2}}$

${\displaystyle {\left(y-2\right)}^2=4\left(1-\frac{x^2}{3^2}\right)}$

${\displaystyle {\left(y-2\right)}^2=\frac{4}{9}\left(9-x^2\right)}$

${\displaystyle y-2=\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}}$

${\displaystyle y=\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}+2}$　･･････(6)

${\displaystyle x=\frac{3\sqrt{3}}{2}}$ を(6)に代入する．

${\displaystyle y=\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2}+2}$${\displaystyle =\pm \frac{2}{3}\sqrt{9-\frac{27}{4}}+2}$${\displaystyle =\pm \frac{2}{3}\sqrt{\frac{9}{4}}+2}$ ${\displaystyle =\pm 1+2}$ ${\displaystyle =3,1}$　･･････(7)

(7)より，点${\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},1\right)}$ は，関数

${\displaystyle y=-\frac{2}{3}\sqrt{9-x^2}+2}$　･･････(8)

のグラフ上の点である．(8)を $x$ で微分する．

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{9-x^2}}\cdot \left(-2x\right)}$${\displaystyle =-\frac{-2x}{3\sqrt{9-x^2}}}$　･･････(9)

よって，点 ${\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{2},1\right)}$ における接線の傾きは，(9)より

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{2\cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}}{3\sqrt{9-{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}}$${\displaystyle =\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{9-\frac{27}{4}}}}$${\displaystyle =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{\frac{9}{4}}}}$${\displaystyle =\frac{2\sqrt{3}}{3}}$

となる．

　

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最終更新日： 2024年7月18日