第2次導関数まで増減表に関する問題

■問題

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3x}$ の第2次導関数までの増減表を作成し，極値と変曲点を求めよ．

■答

関数

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-3x}$ 　･･････(1)

の導関数を求める．

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3}$　･･････(2)

第2次導関数を求める．

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6x}$　･･････(3)

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=0}$ となる $x$ の値を求める.

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=3x^2-3=0}$

${\displaystyle 3\left(x^2-1\right)=0}$

${\displaystyle 3\left(x+1\right)\left(x-1\right)=0}$

よって

${\displaystyle x=-1,1}$

となる．

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=0}$ となる $x$ の値を求める．

${\displaystyle f^{″}\left(x\right)=6x=0}$

よって

${\displaystyle x=0}$

となる．

${\displaystyle \underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3-3x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(x^2-3\right)}$ ${\displaystyle =-\infty }$

${\displaystyle f\left(-1\right)={\left(-1\right)}^3-3\left(-1\right)}$ ${\displaystyle =-1+3}$ ${\displaystyle =2}$

${\displaystyle f\left(0\right)={\left(0\right)}^3-3\left(0\right)}$ ${\displaystyle =0+0}$ ${\displaystyle =0}$

${\displaystyle f\left(1\right)=1^3-3\cdot 1}$ ${\displaystyle =1-3}$ ${\displaystyle =-2}$

${\displaystyle \underset{x\to \infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x^3-3x\right)}$ ${\displaystyle =\underset{x\to \infty }{\lim }x\left(x^2-3\right)}$ ${\displaystyle =\infty }$

以上より，増減表を作成する．

増減表より

$x=-1$ のとき極大値 $2$， $x=1$ のとき極小値 $-2$， 変曲点 $\left(0,0\right)$

となる．

●参考

増減表と対比できるように $f\left(x\right)$ ， $f^{\prime }\left(x\right)$ ， $f^{″}\left(x\right)$ のグラフを示す．

　

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最終更新日： 2025年4月27日