基本的な関数の微分 ${\displaystyle \sqrt{x}}$

■問題

次の関数の導関数を微分の公式および導関数の定義式を用いて求めよ． 

${\displaystyle f(x)=\sqrt{x}}$

■答

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

■解説

${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{x}}$${\displaystyle =x^{\frac{1}{2}}}$　参照： ${\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}}$

と表すことができる．

●公式を用いた計算

微分の公式を用いると

${\displaystyle f^{\prime }\left(x\right)=\frac{1}{2}·x^{\frac{1}{2}-1}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}·x^{-\frac{1}{2}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2}·\frac{1}{\sqrt{x}}}$ ${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x}}}$　参照： ${\displaystyle a^{-r}=\frac{1}{a^r}}$

となる．

●導関数を用いた計算

導関数の定義式を利用すると

${\displaystyle f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\sqrt{x+\Delta x}-\sqrt{x}}{\Delta x}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{(x+\Delta x)-x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{\Delta x}{\Delta x(\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x})}}$

${\displaystyle =\underset{\Delta x\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x+\Delta x}+\sqrt{x}}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2\sqrt{x}}}$

となる．

　

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最終更新日： 2024年7月10日