フーリエ級数

フーリエ級数

■問題

周期関数  f( x )=x  ( lx<l ) , f( x )=f( x+2l ) フーリエ級数を求めよ.

■ヒント

フーリエ係数

a 0 = 1 2π π π f( x )dx

a n = 1 π π π f( x )cosnx dx      ( n=1,2,3··· )

b n = 1 π π π f( x )sinnxdx      ( n=1,2,3··· )

を求める

■解き方

a 0 = 1 2l l l f( x )dx

= 1 2l l l xdx

= 1 2l [ 1 2 x 2 ] l l

= 1 2l { 1 2 l 2 1 2 ( l ) 2 }

=0

 

a n = 1 l l l f( x )cos nπ l xdx

f( x )=x 奇関数.よって f( x )cos nπ l x は奇関数となる.

したがって

a n =0  

となる.

 

b n = 1 l l l f( x )sin nπ l xdx

f( x )=x 奇関数.よって f( x )sin nπ l x 偶関数となる.

したがって

b n = 1 l 2 0 l xsin nπ l xdx

= 2 l 0 l x ( l nπ cos nπ l x ) dx

= 2 l { [ l nπ xcos nπ l x ] 0 l 0 l 1( l nπ cos nπ l x )dx }

= 2 l [ l nπ { ( 1 ) n 0 }+ l nπ 0 l cos nπ l xdx ]

= 2 nπ ( 1 ) n + 2 nπ [ l nπ sin nπ l ] l0 l

= 2 nπ ( 1 ) n

 

f( x ) a 0 + n=1 ( a n cos nπ l x+ b n sin nπ l x )

2 π ( sin π l x 1 2 sin 2π l x+ 1 3 sin 3π l x 1 4 sin 4π l x+ )

 

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最終更新日: 2023年7月7日