フーリエ級数

■問題

周期関数 ${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ 　(${\displaystyle -l\leqq x<l}$ ) ， ${\displaystyle f\left(x\right)=f\left(x+2l\right)}$ のフーリエ級数を求めよ．

■ヒント

フーリエ係数

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)cosnxdx}$ 　　　　(${\displaystyle n=1,2,3···}$ )

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)sinnxdx}$ 　　　　(${\displaystyle n=1,2,3···}$ )

を求める

■解き方

${\displaystyle a_0=\frac{1}{2l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)dx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}xdx}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2l}{\left[\frac{1}{2}{x}^2\right]}_{-l}^l}$

${\displaystyle =\frac{1}{2l}\left\{\frac{1}{2}{l}^2-\frac{1}{2}{\left(-l\right)}^2\right\}}$

${\displaystyle =0}$

 

${\displaystyle a_n=\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)\cos \frac{n\pi }{l}xdx}}$

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$ は奇関数．よって ${\displaystyle f\left(x\right)\cos \frac{n\pi }{l}x}$ は奇関数となる．

したがって

${\displaystyle a_n=0}$ 　

となる．

 

${\displaystyle b_n=\frac{1}{l}{\displaystyle {\int }_{-l}^{l}f\left(x\right)\sin \frac{n\pi }{l}xdx}}$

${\displaystyle f\left(x\right)=x}$奇関数．よって${\displaystyle f\left(x\right)\sin \frac{n\pi }{l}x}$ は偶関数となる．

したがって

${\displaystyle b_n=\frac{1}{l}\cdot 2{\displaystyle {\int }_0^{l}x\sin \frac{n\pi }{l}xdx}}$

${\displaystyle =\frac{2}{l}{\displaystyle {\int }_0^{l}x{\left(-\frac{l}{n\pi }\cos \frac{n\pi }{l}x\right)}^{\prime }dx}}$

${\displaystyle =-\frac{2}{n\pi }{\left(-1\right)}^n+\frac{2}{n\pi }{\left[\frac{l}{n\pi }\sin \frac{n\pi }{l}\right]}_{l0}^l}$

${\displaystyle =-\frac{2}{n\pi }{\left(-1\right)}^n}$

 

 

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最終更新日： 2023年7月7日