周期関数 f ( x ) = x ( − l ≦ x < l ) ， f ( x ) = f ( x + 2 l ) のフーリエ級数を求めよ．
フーリエ係数
a 0 = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) d x
a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n = 1 , 2 , 3 · · · )
b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n = 1 , 2 , 3 · · · )
を求める
a 0 = 1 2 l ∫ − l l f ( x ) d x
= 1 2 l ∫ − l l x d x
= 1 2 l [ 1 2 x 2 ] − l l
= 1 2 l { 1 2 l 2 − 1 2 ( − l ) 2 }
= 0
a n = 1 l ∫ − l l f ( x ) cos n π l x d x
f ( x ) = x は奇関数．よって f ( x ) cos n π l x は奇関数となる．
したがって
a n = 0
となる．
b n = 1 l ∫ − l l f ( x ) sin n π l x d x
f ( x ) = x 奇関数．よって f ( x ) sin n π l x は偶関数となる．
b n = 1 l ⋅ 2 ∫ 0 l x sin n π l x d x
= 2 l ∫ 0 l x ( − l n π cos n π l x ) ′ d x
= 2 l { [ − l n π x cos n π l x ] 0 l − ∫ 0 l 1 ⋅ ( − l n π cos n π l x ) d x }
= 2 l [ − l n π { l ( − 1 ) n − 0 } + l n π ∫ 0 l cos n π l x d x ]
= − 2 l n π ( − 1 ) n + 2 n π [ l n π sin n π l ] 0 l
= − 2 l n π ( − 1 ) n
f ( x ) ∼ a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n π l x + b n sin n π l x )
∼ 2 l π ( sin π l x − 1 2 sin 2 π l x + 1 3 sin 3 π l x − 1 4 sin 4 π l x + … )
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最終更新日： 2025年10月31日