周期２πのフーリエ級数の公式

周期 ${\displaystyle 2\pi }$ の周期関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ は

${\displaystyle \frac{a_0}{2}+{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)}}$

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}$      ( ${\displaystyle n=0,1,2···}$ )  ･･････(1)

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx}$      ( ${\displaystyle n=1,2,3···}$ )  ･･････(2)

のように三角関数の級数として表される．この級数のことを関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ級数といい， ${\displaystyle a_0}$ ， ${\displaystyle a_n}$ ， ${\displaystyle b_n}$ のことをフーリエ係数という．

関数 ${\displaystyle f\left(x\right)}$ が不連続となる $x$ などでは ${\displaystyle f\left(x\right)}$ の 値とフーリエ級数の値が一致しない場合があるので， ${\displaystyle f\left(x\right)}$ のフーリエ級数を表す場合

${\displaystyle f\left(x\right)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)}$  ･･････(3)

 のように「＝」を使わず，「〜」を使い

${\displaystyle f\left(x\right)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)}$  ･･････(4)

と表すのが一般的である．

■フーリエ係数を求める計算

● ${\displaystyle a_0}$ を求める計算

(3)の両辺を区間 ${\displaystyle \left[-\pi ,\pi \right]}$ で積分する．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}dx}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n\cos nxdx}}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_n\sin nxdx}}}$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}=\frac{a_0}{2}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }dx}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx}}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx}}}$  

ここで

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }dx}={\left[x\right]}_{-\pi }^{\pi }=\pi +\pi =2\pi }$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nxdx}={\left[\frac{1}{n}\sin nx\right]}_{-\pi }^{\pi }}$ ${\displaystyle =\frac{1}{n}\sin n\pi -\frac{1}{n}\sin n\left(-\pi \right)}$ ${\displaystyle =0-0=0}$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nxdx}={\left[-\frac{1}{n}\cos nx\right]}_{-\pi }^{\pi }}$ ${\displaystyle =-\frac{1}{n}\cos n\pi +\frac{1}{n}\cos n\left(-\pi \right)=1-1}$ ${\displaystyle =0}$  

以上より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}=2\pi \frac{a_0}{2}}$ ${\displaystyle =\pi a_0}$  

これより

${\displaystyle a_0=\frac{1}{\pi }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)dx}}$   ･･････(5)  

が得られる．

● ${\displaystyle a_n}$ を求める計算

(3)の両辺に ${\displaystyle \cos mx}$ を掛けてから両辺を ${\displaystyle \left[-\pi ,\pi \right]}$ で積分する．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos mxdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\cos mxdx}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n\cos nx\cos mxdx}}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_n\sin nx\cos mxdx}}}$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos mxdx}}$

${\displaystyle =\frac{a_0}{2}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mxdx}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mxdx}}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos mxdx}}}$  

ここで

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos mxdx}={\left[\frac{1}{m}\sin mx\right]}_{-\pi }^{\pi }}$ ${\displaystyle =\frac{1}{m}\sin m\pi -\frac{1}{m}\sin m\left(-\pi \right)=0}$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\cos mxdx}}$  の計算は， ${\displaystyle n\ne m}$ のとき， 積和の公式を利用して

${\displaystyle n=m}$  のとき，半角の公式を利用して

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{\cos }^{2}mxdx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left(1+\cos 2mx\right)dx}}$ ${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}\left(x+\frac{1}{2m}\sin 2mx\right)\right]}_{-\pi }^{\pi }}$ ${\displaystyle =\pi }$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\cos mxdx}}$ の計算は， ${\displaystyle \sin nx\cos mx}$ が奇関数であることより，0となる．

以上より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos mxdx}=\pi a_m}$  

となり， $m$ を $n$ に書き換えて

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}$ ${\displaystyle (n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot )}$   ･･････(6)  

が得られる．

(5)は(6)の ${\displaystyle n=0}$ に相当するので，(5)と(6)を統合すると(1)の

${\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\cos nxdx}$ ${\displaystyle (n=0,1,2,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot )}$

が得られる．

● ${\displaystyle b_n}$ を求める計算

(3)の両辺に ${\displaystyle \sin mx}$ を掛けてから両辺を ${\displaystyle \left[-\pi ,\pi \right]}$ で積分する．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin mxdx}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{a_0}{2}\sin mxdx}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{a}_n\cos nx\sin mxdx}}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{b}_n\sin nx\sin mxdx}}}$  

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin mxdx}}$

${\displaystyle =\frac{a_0}{2}{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mxdx}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\sin mxdx}}}$ ${\displaystyle +{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{b}_n{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\sin mxdx}}}$  

ここで

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin mxdx}={\left[-\frac{1}{m}\cos mx\right]}_{-\pi }^{\pi }}$

${\displaystyle =-\frac{1}{m}\cos m\pi +\frac{1}{m}\cos m\left(-\pi \right)}$

${\displaystyle =1-1=0}$

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\cos nx\sin mxdx}}$  の計算は， ${\displaystyle \cos nx\sin mx}$ が奇関数より，0となる．

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\sin nx\sin mxdx}}$  の計算は， ${\displaystyle n\ne m}$ のとき

${\displaystyle n=m}$  のとき

${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }{\sin }^{2}mxdx}}$ ${\displaystyle ={\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{1}{2}\left(1-\cos 2mx\right)dx}}$ ${\displaystyle ={\left[\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{2m}\sin 2mx\right)\right]}_{-\pi }^{\pi }}$ ${\displaystyle =\pi }$  

以上より

${\displaystyle {\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin mxdx}=\pi b_m}$  

となり， $m$ を $n$ に書き換えて(2)の

${\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f\left(x\right)\sin nxdx}$ ${\displaystyle (n=1,2,3,\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot )}$

が得られる．

 

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最終更新日： 2026年8月12日