基本的な行列の問題

■問題

以下の行列の成分は実数とする．

${\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$ ，${\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)}$ とし，${\displaystyle X=AB}$ ，${\displaystyle Y=BA}$ ，${\displaystyle X^2=\mathrm{O}}$ とする．

(1) ${\displaystyle X}$ と${\displaystyle Y}$ はいずれも逆行列をもたないことを示せ．

(2) ${\displaystyle Y^2=\mathrm{O}}$ であることを示せ．

■ヒント

逆行列をもたないことを示すには，行列式の値がゼロであることを示せばよい(参考).

${\displaystyle \left|AB\right|=\left|A\right|\left|B\right|}$ の関係式も使える．

■解答

(1) 

${\displaystyle X^2=\mathrm{O}}$ より

${\displaystyle \left|X^2\right|=\left|O\right|}$

${\displaystyle \left|XX\right|=0}$

${\displaystyle \left|X\right|\left|X\right|=0}$

${\displaystyle {\left|X\right|}^2=0}$

よって

${\displaystyle \left|X\right|=0}$　･･････(i)

また，${\displaystyle Y=BA}$

${\displaystyle \left|Y\right|=\left|BA\right|=\left|B\right|\left|A\right|=\left|A\right|\left|B\right|}$${\displaystyle =\left|AB\right|}$${\displaystyle =\left|X\right|}$${\displaystyle =0}$

すなわち

${\displaystyle \left|Y\right|=0}$　･･････(ii)

(i)，(ii)から，${\displaystyle X}$ と${\displaystyle Y}$ はいずれも逆行列をもたない．

(2)

${\displaystyle X}$${\displaystyle =AB}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)}$${\displaystyle }$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right)}$

${\displaystyle Y}$${\displaystyle =BA}$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}$${\displaystyle }$${\displaystyle =\left(\begin{array}{cc}ae+cf& be+df\\ ag+ch& bg+dh\end{array}\right)}$

2つの行列X，Yにケーリー・ハミルトンの定理を利用して，(1)の(i)，(ii)を用いると，次の等式が成り立つ．

${\displaystyle X^2-\left(ae+bg+cf+dh\right)X=O}$　･･････(iii)

${\displaystyle Y^2-\left(ae+cf+bg+dh\right)Y+\left|Y\right|E=O}$

${\displaystyle X^2=O}$ と(iii)より

${\displaystyle -\left(ae+bg+cf+dh\right)X=O}$

がえられる.この関係式より

${\displaystyle ae+bg+cf+dh=0}$ あるいは${\displaystyle X=O}$

となる．

${\displaystyle ae+bg+cf+dh=0}$の場合，(iv)より

${\displaystyle Y^2=O}$

${\displaystyle X=O}$ の場合

${\displaystyle X=\left(\begin{array}{cc}ae+bg& af+bh\\ ce+dg& cf+dh\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)}$

となり

${\displaystyle ae+bg+cf+dh=0}$

が成り立つ．したがって

${\displaystyle Y^2=O}$

となる．

以上より

${\displaystyle Y^2=O}$

となる．

　

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2022年9月6日