基本的な行列の問題

■問題

次のベクトルの組は1次独立か，1次従属かを調べよ．

${\displaystyle \left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)}$， ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}-3\\ 9\end{array}\right)\in R^2}$

■計算

${\displaystyle c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}-3\\ 9\end{array}\right)=0}$　･･････(1)

とおくと．

${\displaystyle \left\{\begin{array}{c}{c}_1-3c_2=0\\ 3c_1+9c_2=0\end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．これを行列で表すと

${\displaystyle \left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)}$

となる．

${\displaystyle \left|\begin{array}{cc}1& -3\\ 3& 9\end{array}\right|=18\ne 0}$

であるからクラメルの公式を用いて，${\displaystyle c_1}$ ，${\displaystyle c_2}$を求める．

${\displaystyle c_1=\frac{1}{18}\left|\begin{array}{cc}0& -3\\ 0& 9\end{array}\right|=0}$，${\displaystyle c_2=\frac{1}{18}\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 0\end{array}\right|=0}$

となる．

よって，(1)が成り立つためには

${\displaystyle c_1=c_2=0}$

となる．したがって，1次独立である．

 

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作成：学生スタッフ

最終更新日： 2023年10月11日