陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$

■答

${\displaystyle -\frac{2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

■ヒント

まず， ${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ より定義した ${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を $x$ で微分する．その結果から ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

与式を変形すると

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2-1=0}$

となる．

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)}$ ${\displaystyle =3x^2+2xy+y^2-1}$

とおく． ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle x=x}$ ， ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを ${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用た．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$ ･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(3x^2+2xy+y^2-1\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =6x+2y}$

${\displaystyle =2\left(3x+y\right)}$ ･･････(2)

${\displaystyle f_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}f\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(3x^2+2xy+y^2-1\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =2x+2y}$

${\displaystyle =2\left(x+y\right)}$ ･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ ${\displaystyle =-\frac{2\left(3x+y\right)}{2\left(x+y\right)}}$ ${\displaystyle =-\frac{3x+y}{x+y}}$ ･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=-\frac{3x+y}{x+y}}$ ･･････(5)

とおく．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ ${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ を ${\displaystyle x=x}$ ， ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを ${\displaystyle x}$ で微分する．このとき合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$ ･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

分数関数（商）の導関数の公式を用いる．

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなして ${\displaystyle x}$ で微分する．

${\displaystyle =-\frac{3·\left(x+y\right)-\left(3x+y\right)·1}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{3x+3y-3x-y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}}$ ･･････(7)

${\displaystyle g_y}$ ${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

(5)を代入する．

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

${\displaystyle =-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{3x+y}{x+y}\right)}$

分数関数（商）の導関数の公式を用いる．

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなして ${\displaystyle y}$ で微分する．

${\displaystyle =-\frac{1·\left(x+y\right)-\left(3x+y\right)·1}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{x+y-3x-y}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-2x}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle =\frac{2x}{{\left(x+y\right)}^2}}$ ･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．

${\displaystyle =-\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}-\frac{2x\left(3x+y\right)}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\left\{\frac{2y}{{\left(x+y\right)}^2}+\frac{2x\left(3x+y\right)}{{\left(x+y\right)}^3}\right\}}$

${\displaystyle =-\frac{2y\left(x+y\right)+2x\left(3x+y\right)}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{2xy+2y^2+6x^2+2xy}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{6x^2+4xy+2y^2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{2\left(3x^2+2xy+y^2\right)}{{\left(x+y\right)}^3}}$

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ の関係から

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

●グラフ

点 $\text{P}$ をドラックして曲線 $3x^2+2xy+y^2=1$ 上を動かすと， ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ のグラフ(青色)， ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ のグラフ(緑色)が描かれる．

■別解

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ の両辺を $x$ で微分する．

${\displaystyle 6x+2y+2x\frac{dy}{dx}+2y\frac{dy}{dx}=0}$ ･･････(9)

( ${\displaystyle \frac{d}{dx}{y}^2}$ についてはここを参照)

(9)を ${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle 6x+2y+\left(2x+2y\right)\frac{dy}{dx}=0}$

${\displaystyle \left(2x+2y\right)\frac{dy}{dx}=-6x-2y}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{6x+2y}{2x+2y}=-\frac{3x+y}{x+y}}$ ･･････(10)

(9)を ${\displaystyle x}$ さらに ${\displaystyle x}$ で微分する．

(11)を ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-3-2\frac{dy}{dx}-{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}$ ･･････(12)

(12)に(10)を代入する．

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-6x^2-4xy-2y^2}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-2\left(3x^2-2xy-y^2\right)}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle \left(x+y\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{-2}{{\left(x+y\right)}^2}}$

${\displaystyle 3x^2+2xy+y^2=1}$ の関係から

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}=-\frac{2}{{\left(x+y\right)}^3}}$

　

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最終更新日： 2025年1月20日