陰関数の2次導関数

■問題

次の関係で定義される陰関数 ${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ について ${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ を求めよ．

${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$

■答

${\displaystyle -\frac{2a^{3}xy}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$ 

■ヒント

まず，${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$ より，${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=0}$ となる2変数関数 ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$を$x$ で微分する．その結果から${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ を求める．

■解説

⇒別解

${\displaystyle f\left(x,y\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=x^3+y^3-3axy}$

とおく．${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ を${\displaystyle x=x}$ ，${\displaystyle y=\varphi \left(x\right)}$ とする合成関数と考えて，これを${\displaystyle x}$ で微分すると

${\displaystyle \frac{d}{dx}f\left(x,y\right)}$${\displaystyle =f_x\frac{dx}{dx}+f_y\frac{dy}{dx}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いた．

${\displaystyle =f_x+f_y\frac{dy}{dx}=0}$

よって

${\displaystyle f_y\frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-f_x}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$　･･････(1)

ここで

${\displaystyle f_x}$${\displaystyle =3x^2-3ay}$　･･････(2)

${\displaystyle f_y}$${\displaystyle =3y^2-3ax}$　･･････(3)

(1)に(2)，(3)を代入すると

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$${\displaystyle =-\frac{f_x}{f_y}}$${\displaystyle =-\frac{3x^2-3ay}{3y^2-3ax}}$${\displaystyle =-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}}$　･･････(4)

となる．

${\displaystyle g\left(x,y\right)=g\left(x,\varphi \left(x\right)\right)=-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}}$　･･････(5)

とおく． ${\displaystyle g\left(x,y\right)}$ も合成関数となり， ${\displaystyle f\left(x,y\right)}$ と同様に微分すると，

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)}$

${\displaystyle =\frac{d}{dx}\left\{g\left(x,y\right)\right\}}$

合成関数の偏導関数の公式を用いる．

${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$　･･････(6)

ここで

${\displaystyle g_x}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle y}$ を定数とみなし， ${\displaystyle x}$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle =-\frac{2x\left(y^2-ax\right)-\left(x^2-ay\right)\left(-a\right)}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{2x{y}^2-2a{x}^2+a{x}^2-a^{2}y}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-a{x}^2+2x{y}^2-a^{2}y}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$　･･････(7)

${\displaystyle g_y}$${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}g\left(x,y\right)}$

${\displaystyle =\frac{\partial }{\partial y}\left(-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}\right)}$

偏導関数の定義より， ${\displaystyle x}$ を定数とみなし， ${\displaystyle y}$ で微分する．
分数関数の微分の公式を用いる．

${\displaystyle =-\frac{-a\left(y^2-ax\right)-\left(x^2-ay\right)·2y}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-a^{2}y+a{x}^2-2x^{2}y-2a{y}^2}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$

${\displaystyle =-\frac{-a^{2}y-2x^{2}y+a{x}^2}{{\left(y^2-ax\right)}^2}}$　･･････(8)

(6)に(7)，(8)，(4)を代入する．

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =g_x+g_y\frac{dy}{dx}}$

ここで，与式より${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$ であるから

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-\frac{2a^{3}xy}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

■別解

${\displaystyle x^3+y^3-3axy=0}$　･･････(9)

(9)の両辺を$x$で微分する．

${\displaystyle 3x^2+3y^2\frac{dy}{dx}-3ay-3ax\frac{dy}{dx}=0}$

${\displaystyle x^2+y^2\frac{dy}{dx}-ay-ax\frac{dy}{dx}=0}$　･･････(10)

(10)を${\displaystyle \frac{dy}{dx}}$ について解く．

${\displaystyle \left(y^2-ax\right)\frac{dy}{dx}=-x^2+ay}$

${\displaystyle \frac{dy}{dx}=-\frac{x^2-ay}{y^2-ax}}$　･･････(11)

(10)を${\displaystyle x}$ さらに${\displaystyle x}$ で微分する．

(12)を${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$ について解く．

${\displaystyle \left(y^2-ax\right)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =-2x-2y{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2+2a\frac{dy}{dx}}$

${\displaystyle \frac{d^{2}y}{d{x}^2}}$${\displaystyle =\frac{-2}{y^2-ax}\left\{x+y{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2-a\frac{dy}{dx}\right\}}$　･･････(13)

(13)に(11)を代入する．

${\displaystyle =-2\cdot \frac{x{y}^4-3a{x}^2{y}^2+x^{4}y+a^{3}xy}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

${\displaystyle =-2xy\cdot \frac{y^3-3axy+x^3+a^3}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

ここで，(9)より

${\displaystyle =-2xy\cdot \frac{a^3}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

${\displaystyle =-\frac{2xy{a}^3}{{\left(y^2-ax\right)}^3}}$

　

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最終更新日： 2023年9月15日