円のグラフと楕円のグラフとの関係に関する問題

■問題

${\displaystyle x^2+y^2=1}$  の円のグラフを原点を中心として，x 軸方向に2倍，y 軸方向に3倍した（拡大した）グラフを表す式を求めよ．

■答

${\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$

■解説

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心として，x 軸方向にc 倍，y 軸方向にd 倍 したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y}{d}=f\left(\frac{x}{c}\right)}$ 　

となる(グラフの拡大を参照)．今回は

${\displaystyle c=2}$  ，${\displaystyle d=3}$

に対応する．よって${\displaystyle x^2+y^2=1}$  を

${\displaystyle x\to \frac{x}{2}}$，${\displaystyle y\to \frac{y}{3}}$

に書き換えて

${\displaystyle {\left(\frac{x}{3}\right)}^2+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2=1}$

${\displaystyle \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1}$

となる．これが求める関数で楕円の方程式になっている．

円を拡大変形すると楕円になる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日