関数のグラフの拡大，平行移動に関する問題

■問題

${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$  のグラフは，${\displaystyle y=\sqrt{x}}$  のグラフをどのように拡大した後，平行移動したかを答えよ．

■答

${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$ のグラフは

${\displaystyle y=\sqrt{x}}$ のグラフを原点を中心として
y 軸方向に${\displaystyle \sqrt{2}}$ 倍 した（拡大した）後，x 軸方向に−2，y 軸方向に−3平行移動したもの

である．

あるいは

${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$ のグラフは

${\displaystyle y=\sqrt{x}}$ のグラフを原点を中心として
x 軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 倍 した（拡大した）後，x 軸方向に−2，y 軸方向に−3平行移動したもの

である．

■ヒント

関数${\displaystyle y=f\left(x\right)}$ のグラフを原点を中心としてx 軸方向に c 倍 ，y 軸方向にd 倍 した後，x 軸方向にa ，y 軸方向にb 平行移動（移動距離は軸の正の方向を正とする）したグラフを表す関数は

${\displaystyle \frac{y-b}{d}=f\left(\frac{x-a}{c}\right)}$ 　

となる．よって，${\displaystyle f\left(x\right)=\sqrt{x}}$ ，すなわち，${\displaystyle y=\sqrt{x}}$  に適用すると

${\displaystyle \frac{y-b}{d}=\sqrt{\frac{x-a}{c}}}$   ･･･････(1)

の形に，${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$ の式を変形するとよい．

■解説

方針に従って${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$ の式を以下のように変形する．

${\displaystyle \begin{array}{l}y=\sqrt{2x+4}-3\\ y+3=\sqrt{2\left(x+2\right)}\end{array}}$

${\displaystyle \frac{y-\left(-3\right)}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{x-\left(-2\right)}{1}}}$  ･･････(2)

となる．(2)は次のようにも変形できる．

${\displaystyle \frac{y-\left(-3\right)}{1}=\sqrt{\frac{x-\left(-2\right)}{\frac{1}{2}}}}$  ･･････(3)

(2)より，${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$ のグラフは

${\displaystyle y=\sqrt{x}}$ のグラフを原点を中心として，y 軸方向に${\displaystyle \sqrt{2}}$ 倍 した（拡大した）後，x 軸方向に−2，y 軸方向に−3平行移動したもの

である．

(3)より，${\displaystyle y=\sqrt{2x+4}-3}$ のグラフは

${\displaystyle y=\sqrt{x}}$ のグラフを原点を中心として，x 軸方向に${\displaystyle \frac{1}{2}}$ 倍 した（拡大した）後，x 軸方向に−2，y 軸方向に−3平行移動したもの

である．

 

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最終更新日： 2024年9月13日