3次関数のグラフの式を求める問題

■問題

図は $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ で交わり，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接し，$y$ 切片が $3$ の3次関数のグラフである．グラフを表す3次関数の式を求めよ．

■答

${\displaystyle y=\frac{1}{6}\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2}$

■ヒント

3次関数のグラフのページを参照

■解説

3次関数のフラフが $x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ で交わり，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接することより，3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2}$

ただし， $a$ は定数

と表される．

$y$ 切片が $3$ より，(1)に $x=0$ ， $y=3$ を代入する．

${\displaystyle 3=a\left(0+2\right){\left(0-3\right)}^2}$

${\displaystyle 3=18a}$

${\displaystyle a=\frac{1}{6}}$ 　･･････(2)

(1)に(2)を代入する．

${\displaystyle y=\frac{1}{6}\left(x+2\right){\left(x-3\right)}^2}$ 　･･････(3)

(3)が求める2次関数の式になる．

■別解

3次関数は一般的に

${\displaystyle y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d}$ 　･･････(4)

と表される．

$x$ 軸と点 ${\displaystyle \left(-2,0\right)}$ で交わり，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接し，$y$ 切片が $3$であることより，以下の連立方程式が成り立つ．

また，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$ で接することより，点 ${\displaystyle \left(3,0\right)}$での接線の傾きがゼロである．

${\displaystyle y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c}$　　･･････(8)

より，以下の方程式が成り立つ．

${\displaystyle 27a+6b+c=0}$　　･･････(9)

（5)，(6)，(7)，(9)からなる連立方程式を解く．

（5)，(6)に(7)を代入する．

${\displaystyle -8a+4b-2c+3=0}$ 　･･････(10)

${\displaystyle 27a+9b+3c+3=0}$ 　･･････(11)

(10)×3＋(11)×2より

${\displaystyle 30a+30b+15=0}$

${\displaystyle 2a+2b+1=0}$ 　･･････(12)

(9)×2+(10)より

${\displaystyle 46a+16b+3=0}$ 　･･････(13)

(14)-(12)×8より

${\displaystyle 30a-5=0}$

${\displaystyle a=\frac{1}{6}}$ 　･･････(14)

(14)を(12)に代入する．

${\displaystyle 6\cdot \frac{1}{3}+6b-6=0}$

${\displaystyle b=-\frac{2}{3}}$ 　･･････(15)

(14)，(15)を(9)に代入する．

${\displaystyle 27\cdot \frac{1}{6}+6\cdot \left(-\frac{2}{3}\right)+c=0}$

${\displaystyle c=-\frac{1}{2}}$ 　･･････(16)

(14)，(15)，(16)，(7)を(4)に代入する．

${\displaystyle \frac{1}{6}{x}^3-\frac{2}{3}{x}^2-\frac{1}{2}x+3=0}$ 　･･････(17)

(18)が求める3次関数である．(17)を因数分解すると(3)になる．

 

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最終更新日： 2024年9月13日