2次関数のグラフの式を求める問題

■問題

グラフが3点 $\left(5,2\right)$ ， $\left(2,-1\right)$ ， $\left(-1,14\right)$ を通る2次関数の式を求め，グラフをかけ．

■答

$y=x^2-6x+7$

平方完成した形では以下のようになる．

${\displaystyle y={\left(x-3\right)}^2-2}$

■ヒント

2次関数の定義，2次関数のグラフ $y=x^2$ ， 2次関数のグラフ ${\displaystyle y=a{\left(x-p\right)}^2+q}$ のページを参考にする．

■解説

2次関数の式の一般系は

${\displaystyle y=a{x}^2+bx+c}$　･･････(1)

ただし， $a$，$b$，$c$ は定数

である．

(1)の2次関数のグラフが3点 $\left(5,2\right)$ ， $\left(2,-1\right)$ ， $\left(-1,14\right)$ を通ることより

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}2=25a+5b+c\cdots \cdots (2)\\ -1=4a+2b+c\cdots \cdots (3)\\ 14=a-b+c\cdots \cdots (4)\end{array}\right.}$

の連立方程式が成り立つ．この連立方程式から $a$，$b$，$c$ を求める．

(3)-(2)より

${\displaystyle 3=21a+3b}$　･･････(5)

(3)-(4)より

$-15=3a+3b$ 　･･････(6)

が得られる．さらに，(5)-(6)より

${\displaystyle 18=18a}$

$a=1$　･･････(7)

が得られる．

(7)を(6)に代入する．

${\displaystyle -15=3\cdot 1+3b}$

$b=-6$ 　･･････(8)

(7)，8)を(4)に代入する．

$14=1-\left(-6\right)+c$

$c=7$ 　･･････(9)

となる．

(7)、(8)，(9)を(1)に代入すると求める2次関数の式

$y=x^2-6x+7$　･･････(10)

が得られる．

●グラフ

(2)の2次関数のグラフをかくには(10)を平方完成をし，グラフの頂点を求める．

${\displaystyle y=x^2-6x+7}$

${\displaystyle =x^2-2\cdot 3x+3^2-3^2+7}$

${\displaystyle ={\left(x-3\right)}^2-2}$　･･････(10)

よって，頂点は

$\left(3,-2\right)$

となる．

$y$ 切片を求める．(10)の $x$ に $0$ を代入する．

${\displaystyle y=0^2-6\cdot 0+7=7}$

より， $y$ 切片は $7$ である．

 

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最終更新日： 2024年9月27日