1次不等式に関する問題

■問題

1次不等式

${\displaystyle ax>2x+5}$ 　 （ $a$ は定数 ） 　･･････(1)

の解を求めよ．

■答

$a>2$の場合

${\displaystyle x>\frac{5}{a-2}}$

$a<2$ の場合

${\displaystyle x<\frac{5}{a-2}}$

$a=2$の場合

解なし

となる．

■解説

(1)の両辺から $2x$ を減じる(不等式の性質1)ことにより，(1)の右辺の $2x$ を左辺に移項する．

$ax-2x>2x+5-2x$

$ax-2x>5$ 　･･････(2)

移項できたので，左辺を $x$ でくくり出し，残りを（）の中に入れる．

$x\left(a-2\right)>5$ 　･･････(3)

I．$a-2>0$ ，すなわち， $a>2$ の場会

(3)の両辺を $a-2$ で割る． $a-2$ は正の値なので不等号の向きは変わらない．（不等式の性質4）.

${\displaystyle \frac{x\left(a-2\right)}{a-2}>\frac{5}{a-2}}$ 　･･････(4)

(4)の左辺を約分する．

${\displaystyle x>\frac{5}{a-2}}$

II．$a-2<0$ ，すなわち， $a<2$ の場会

(3)の両辺を $a-2$ で割る． $a-2$ は負の値なので不等号の向きが変わる．（不等式の性質7）.

${\displaystyle \frac{x\left(a-2\right)}{a-2}<\frac{5}{a-2}}$ 　･･････(5)

(4)の左辺を約分する．

${\displaystyle x<\frac{5}{a-2}}$

III．${\displaystyle a-2=0}$ ，すなわち， $a=2$ の場会

この場合，(3)は

$x\cdot 0>5$　･･････(6)

となる．

(6)の左辺の値は $0$ ， 右辺の値は $5$ となり，(6)を満たす $x$ は存在しない．よって，解なし．

以上をまとめると

$a>2$の場合

${\displaystyle x>\frac{5}{a-2}}$

$a<2$ の場合

${\displaystyle x<\frac{5}{a-2}}$

$a=2$の場合

解なし

となる．

 

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最終更新日： 2024年10月7日