2次不等式に関する問題

■問題

2次不等式

${\displaystyle 2x^2-9x+4>0}$ 　･･････(1)

の解を求めよ．

■答

■解説

(1)の左辺を因数分解すると

${\displaystyle \left(2x-1\right)\left(x-4\right)>0}$ 　･･････(2)

となる． $2x^2-9x+4$ の因数分解についてはこのページを参照する．詳しく解説をしている．

(2)の不等式が成り立つのは

$2x-1>0$ ，かつ， $x-4>0$ の場合　･･････(I)

あるいは

$2x-1<0$ ，かつ， $x-4<0$ の場合　･･････(II)

である．

（I)より

${\displaystyle x>\frac{1}{2}}$ ，かつ， $x>4$

図で示すと

すなわち

$x>4$　･･････(3)

となる．

（II)より

${\displaystyle x<\frac{1}{2}}$ ，かつ， $x<4$

図で示すと

すなわち

${\displaystyle x<\frac{1}{2}}$　･･････(4)

となる．

以上，(3)と(4)より，(1)の不等式の解は

$x>4$，${\displaystyle x<\frac{1}{2}}$

となる．

●グラフを用いた確認

$y=2x^2-9x+4$ $=\left(2x-1\right)\left(x-4\right)$　･･････(5)

とおき，(1)の解と(5)のグラフの関係を確認すと，(1)を満たす部分は，グラフの $x$ 軸より上の部分になり，容易に解の範囲を理解することができる．

 

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最終更新日： 2024年9月26日