因数分解

■問題

次の式を因数分解しなさい．

${\displaystyle 2x^2-9x+4}$

■答

${\displaystyle \left(2x-1\right)\left(x-4\right)}$

■ヒント

たすきがけ手法を利用する．

■解き方

因数分解の基本公式より

${\displaystyle ac{x}^2+\left(ad+bc\right)x+bd=2x^2-9x+4}$

すなわち

${\displaystyle ac=2}$ ，${\displaystyle ad+bc=-9}$ ，${\displaystyle bd=4}$

であり，これを満たす${\displaystyle a}$ ，${\displaystyle b}$，${\displaystyle c}$，${\displaystyle d}$を求める．

${\displaystyle ac=2}$ を満たす整数${\displaystyle a}$，${\displaystyle c}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=2\\ c=1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=1\\ c=2\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-2\\ c=-1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=-1\\ c=-2\end{array}}$

${\displaystyle bd=-5}$ を満たす整数${\displaystyle b}$，${\displaystyle d}$は

${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=1\\ d=4\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-1\\ d=4\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=4\\ d=1\end{array}}$   ${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-4\\ d=-1\end{array}}$

これをたすきがけ手法を用いて，${\displaystyle ad+bc=-9}$ を満たすものを見つける．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=2\\ c=1\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=1\\ d=4\end{array}}$ のとき

となるので，失敗である．

${\displaystyle \{\begin{array}{c}a=2\\ c=1\end{array}}$ ，${\displaystyle \{\begin{array}{c}b=-1\\ d=-4\end{array}}$ のとき

となるので，成功である．

よって，${\displaystyle \{\begin{array}{cc}a=2& b=-1\\ c=1& d=-4\end{array}}$ とすればよい．

したがって，${\displaystyle \left(ax+b\right)\left(cx+d\right)}$ に代入すると

${\displaystyle 2x^2-9x+4=\left(2x-1\right)\left(x-4\right)}$

ホーム>>カテゴリー分類>>数と式>>問題演習>>因数分解

学生スタッフ作成

最終更新日： 2023年7月20日