2次関数の頂点を求める問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y=x^2+2x+3}$ の頂点の座標を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(-1,2\right)}$

■ヒント

2次関数を平方完成する．

■解説

2次関数を以下の手順で平方完成する．

${\displaystyle y=x^2+2x+3}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =x^2+2\cdot 1\cdot x+3}$

さらに ${\displaystyle x^2+2\cdot 1\cdot x}$ の後に， $+1^2-1^2$ を挿入する．
（ ${\displaystyle 1^2-1^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

${\displaystyle =\left(x^2+2\cdot 1\cdot x+1^2\right)-1^2+3}$

${\displaystyle =\left(x^2+2\cdot 1\cdot x+1^2\right)+2}$

${\displaystyle x^2+2xy+y^2={\left(x+y\right)}^2}$ の関係を利用して式を変形する．

${\displaystyle ={\left(x+1\right)}^2+2}$

よって，頂点の座標は

${\displaystyle \left(-1,2\right)}$

となる．

　

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最終更新日 2025年12月17日