2次関数の頂点を求める問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y=2x^2+5x+7}$ の頂点の座標を求めよ．

■答

${\displaystyle $ {\displaystyle \left(-\frac{5}{4},\frac{31}{8}\right)}$}$

■ヒント

2次関数を平方完成する．

■解説

2次関数を以下の手順で平方完成する．

${\displaystyle y=2x^2+5x+7}$

${\displaystyle x}$ の2次の項の係数 $2$ で ${\displaystyle x}$ の2次の項と1次の項をくくる

${\displaystyle =2\left(x^2+\frac{5}{2}x\right)+7}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =2\left(x^2+2·\frac{5}{4}x\right)+7}$

さらに， ${\displaystyle x^2-2·\frac{5}{4}x}$ の後に， ${\displaystyle +{\left(\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}$ を挿入する．（ ${\displaystyle {\left(\frac{5}{4}\right)}^2-{\left(\frac{5}{4}\right)}^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

$\left\{\right\}$ の中が ${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ になるように $\left\{\right\}$ の最後の項 ${\displaystyle -{\left(\frac{5}{4}\right)}^2}$ を $\left\{\right\}$ の外に出す．

${\displaystyle x^2+2xy+y^2={\left(x+y\right)}^2}$ の関係を利用して式を変形する．

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{5^2}{4·2}+7}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2-\frac{5^2-4·2·7}{4·2}}$

${\displaystyle =2{\left(x+\frac{5}{4}\right)}^2+\frac{31}{8}}$

よって，頂点の座標は

${\displaystyle \left(-\frac{5}{4},\frac{31}{8}\right)}$

となる．

　

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最終更新日 2025年12月17日