2次関数の頂点を求める問題

■問題

2次関数 ${\displaystyle y=5x^2-8x+12}$ の頂点の座標を求めよ．

■答

${\displaystyle \left(\frac{4}{5},\frac{44}{5}\right)}$

■ヒント

2次関数を平方完成する．

■解説

2次関数を以下の手順で平方完成する．

${\displaystyle y=5x^2-8x+12}$

${\displaystyle x}$ の2次の項の係数 $5$ で ${\displaystyle x}$ の2次の項と1次の項をくくる

${\displaystyle =5\left(x^2-\frac{8}{5}x\right)+12}$

${\displaystyle {\left(x+○\right)}^2}$ の項を作るために ${\displaystyle x}$ の項を ${\displaystyle 2·○·x}$ の形に変形する．

${\displaystyle =5\left(x^2-2·\frac{4}{5}x\right)+12}$

さらに， ${\displaystyle x^2-2·\frac{4}{5}x}$ の後に， ${\displaystyle +{\left(\frac{4}{5}\right)}^2-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$ を挿入する．（ ${\displaystyle {\left(\frac{4}{5}\right)}^2-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=0}$ であるので，上式と値は変化しない ）

$\left\{\right\}$ の中が ${\displaystyle {\left(x-○\right)}^2}$ になるように $\left\{\right\}$ の最後の項 ${\displaystyle -{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}$ を $\left\{\right\}$ の外に出す．

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2-\frac{4^2}{5}+12}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2-\frac{4^2-5·12}{5}}$

${\displaystyle =5{\left(x-\frac{4}{5}\right)}^2+\frac{44}{5}}$

よって，頂点の座標は

${\displaystyle \left(\frac{4}{5},\frac{44}{5}\right)}$

となる．

　

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最終更新日 2025年12月17日