2次関数の最大値・最小値問題

■問題

次の関数の最大値，最小値を求めよ．

${\displaystyle y=x^2-4x+3}$    (${\displaystyle 1\leqq x\le 4}$ )

■答

最大値は，${\displaystyle x=4}$ のときで， ${\displaystyle y=3}$

最小値は ${\displaystyle x=2}$ のときで，${\displaystyle y=-1}$

■ヒント

2次関数を平方完成し，頂点座標を求める．

関数の定義域 ${\displaystyle 1\leqq x\le 4}$ に注意する．

■解説

2次関数を以下の手順で平方完成する．

${\displaystyle y=x^2-4x+3}$

${\displaystyle =x^2-4x+4-4+3}$

${\displaystyle ={\left(x-2\right)}^2-1}$

よって．2次間数${\displaystyle y=x^2-4x+3}$ のグラフは下に凸で，頂点座標は${\displaystyle \left(2,-1\right)}$ となる．

グラフを描くと以下のようになる．

定義域が${\displaystyle 1\leqq x\leqq 4}$ より

最大値は，${\displaystyle x=4}$ のときで， ${\displaystyle y=4^2-4\cdot 4+3=3}$

最小値は，頂点の位置，すなわち， ${\displaystyle x=2}$ のときで，${\displaystyle y=-1}$

となる．

●別解

微分を習っていると増減表を使って解くことができる．

${\displaystyle y^{\prime }=2x-4}$${\displaystyle =2\left(x-2\right)}$

よって，${\displaystyle y^{\prime }=0}$ となるのは，${\displaystyle x=2}$

${\displaystyle x=2}$ のとき

${\displaystyle y=2^2-4\cdot 2+3=-1}$

${\displaystyle x=1}$ のとき

${\displaystyle y=1^2-4\cdot 1+3=0}$

${\displaystyle x=4}$ のとき

${\displaystyle y=4^2-4\cdot 4+3=3}$

以上より，増減表は以下のようになる．

増減表より

最大値は，${\displaystyle x=4}$ のときで， ${\displaystyle y=3}$

最小値は ${\displaystyle x=2}$ のときで，${\displaystyle y=-1}$

となる．

　

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最終更新日 2026年10月2日