極限の計算問題

■問題

次の極限を求めよ．

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

■ヒント

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子${\displaystyle \to 0}$ ，分母${\displaystyle \to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子${\displaystyle \to 0}$ ，分母${\displaystyle \to 0}$ となり，分母，分子の式には因数${\displaystyle x}$ が含まれる（因数定理を参照）．

分母には${\displaystyle x}$ が現れているが，分子には${\displaystyle x}$ が現れていない．よって，分母，分子に${\displaystyle \sqrt{x+1}+1}$ を掛けて分子の有理化を試みるとよい．

参考までに${\displaystyle \sqrt{x+1}-1}$ を以下のように式変形すると，

${\displaystyle \sqrt{x+1}-1}$ ${\displaystyle =\frac{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{\sqrt{x+1}+1}}$

${\displaystyle =\frac{\left(x+1\right)-1}{\sqrt{x+1}+1}}$

${\displaystyle =x\cdot \frac{1}{\sqrt{x+1}+1}}$

と式変形でき，${\displaystyle \sqrt{x+1}-1}$ を式変形すると因数${\displaystyle x}$ が含まれる式となる．

関数の極限値の性質も参考にする．

■解き方

${\displaystyle x\to 0}$ のとき，分子${\displaystyle \to 0}$ ，分母${\displaystyle \to 0}$ となり，${\displaystyle \frac{0}{0}}$ の不定形となる．

分母，分子に${\displaystyle \sqrt{x+1}+1}$ を掛けて有理化すると

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(\sqrt{x+1}-1\right)\left(\sqrt{x+1}+1\right)}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}}$

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{x\left(\sqrt{x+1}+1\right)}}$

約分をする．

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x+1}+1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{0+1}+1}}$

${\displaystyle =\frac{1}{2}}$

となる．

よって求める極限値は

${\displaystyle \frac{1}{2}}$

となる．

 

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最終更新日： 2026年9月1日