三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle sin\theta =\frac{1}{2}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi }$

■解説

${\displaystyle \sin \theta }$の値は単位円上の点の${\displaystyle y}$座標の値に相当する( ここ を参照)．

まず，図のように単位円を描く．このとき，原点を${\displaystyle \text{O}}$ とする．

${\displaystyle \sin \theta =\frac{1}{2}}$ より，x軸と平行な直線${\displaystyle y=\frac{1}{2}}$を描く．

描いた直線と単位円との交点を${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ とし，原点${\displaystyle \text{O}}$ と直線で結ぶ．

${\displaystyle \text{P}}$ ，${\displaystyle \text{Q}}$ からx軸に垂線を下ろし，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とし，直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ，直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$ の内角を求める．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ において，${\displaystyle \text{OP}=1}$，${\displaystyle \text{PR}=\frac{1}{2}}$より，基本的な三角形 と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{POR}={\theta }_2=\frac{1}{6}\pi }$

となる．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$ ${\displaystyle \equiv }$ 直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$

より

${\displaystyle \angle \text{QOS=}\angle \text{POR=}\frac{1}{6}\pi }$

よって，${\displaystyle {\theta }_1}$を算出すと

${\displaystyle {\theta }_1=\pi -\frac{1}{6}\pi =\frac{5}{6}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2024年10月29日