加法定理・合成関数に関する問題

■問題

次式を${\displaystyle r\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ ${\displaystyle \left[r>0,-\pi <\alpha \leqq \pi \right]}$ の形に変形しなさい．

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \theta -\sqrt{2}\cos \theta }$

■答

${\displaystyle 2\sin \left(\theta -\frac{1}{4}\pi \right)}$

■ヒント

(1)合成した時の係数${\displaystyle r}$ を求める．

(2)合成関数の公式を使い解を導きだす．

■解き方

${\displaystyle r=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{2+2}=2}$

より

${\displaystyle \sqrt{2}sin\theta -\sqrt{2}cos\theta }$${\displaystyle =2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin \theta -\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \theta \right)}$　･･････(1)

と式を変形する．

三角関数の合成の公式より

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \theta -\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sin \left(\theta +\alpha \right)}$　･･････(2)

の形に変形できる．(2)に加法定理を適用すると

${\displaystyle =2\sin \left(\theta +\alpha \right)}$ ${\displaystyle =2\left(\sin \theta \cos \alpha +\cos \theta \sin \alpha \right)}$　･･････(3)

となる．

(1)と(3)を比較すると

${\displaystyle \left\{\begin{array}{l}\cos \alpha ={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\hfill \\ \sin \alpha =-{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\hfill \end{array}\right.}$

となる連立方程式が得られる．これを解くと(図参照)

${\displaystyle \alpha =-\frac{1}{4}\pi }$

となる．したがって

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \theta -\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sin \left(\theta -\frac{1}{4}\pi \right)}$

となる．

●作図より求める方法

座標平面上に，${\displaystyle \sin }$の係数${\displaystyle \sqrt{2}}$ を${\displaystyle x}$成分，${\displaystyle \cos }$の係数${\displaystyle -\sqrt{2}}$ を${\displaystyle y}$ 成分とする点${\displaystyle \text{P}}$ と原点${\displaystyle \text{O}}$ を結ぶ線分${\displaystyle \text{OP}}$ を描く．線分${\displaystyle \text{OP}}$の長さが${\displaystyle r}$ ， 線分${\displaystyle \text{OP}}$ と ${\displaystyle x}$軸となす角が角度${\displaystyle \alpha }$となる．

よって

${\displaystyle r=2}$ ，${\displaystyle \alpha =-\frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle \sqrt{2}\sin \theta -\sqrt{2}\cos \theta }$${\displaystyle =2\sin \left(\theta -\frac{1}{4}\pi \right)}$

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日