三角関数の方程式に関する問題

■問題

次の方程式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$とする．

${\displaystyle \tan \theta =-\sqrt{3}}$

■答

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi }$

■解説

${\displaystyle \tan \theta }$の値は，単位円において

に相当する(ここを参照)．

しかし，${\displaystyle \text{tan}\theta }$ を求める場合，底辺の長さが1である直角三角形を描くと高さが${\displaystyle \text{tan}\theta }$ になるので都合がよい．よって，以下のような作図をする．

まず，単位円を描く

${\displaystyle x=1}$ ，${\displaystyle x=-1}$ の直線を引く．

${\displaystyle \tan \theta =-\sqrt{3}}$より，${\displaystyle x=1}$ 上の${\displaystyle y}$ の値が${\displaystyle -\sqrt{3}}$ となるところを点${\displaystyle \text{P}}$とする．

点${\displaystyle \text{P}}$ と原点${\displaystyle \text{O}}$ を通る直線を描き，${\displaystyle x=-1}$ との交点を点${\displaystyle \text{Q}}$ とする．

点${\displaystyle \text{P}}$，点${\displaystyle \text{Q}}$ から ${\displaystyle x}$ 軸に垂線を下ろし，それぞれの足を${\displaystyle \text{R}}$ ，${\displaystyle \text{S}}$ とする．

直角三角形${\displaystyle \text{OPR}}$と直角三角形${\displaystyle \text{OQS}}$を描く．

この作図により

${\displaystyle \text{tan}\left(\pi -\left(\angle \text{QOS}\right)\right)=\tan {\theta }_1=-\sqrt{3}}$

${\displaystyle \text{tan}{\theta }_2=\tan \left({\theta }_1+\pi \right)=\tan {\theta }_1=-\sqrt{3}}$　(ここを参照)

となる．

${\displaystyle \text{OS}=1}$，${\displaystyle \text{QS}=\sqrt{3}}$より，基本的な三角形と照らし合わせると

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\frac{1}{3}\pi }$，${\displaystyle {\theta }_1=\pi -\frac{1}{3}\pi =\frac{2}{3}\pi }$

となる．

${\displaystyle \angle \text{QOS}=\frac{1}{3}\pi }$ より

${\displaystyle {\theta }_2=\pi +\frac{2}{3}\pi =\frac{5}{3}\pi }$

となる．

${\displaystyle 0\leqq \theta <\pi }$であるから(円周上の赤線に対応)，${\displaystyle {\theta }_2}$は範囲外となる．

よって，求める角は

${\displaystyle \theta =\frac{2}{3}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2023年4月12日