三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$とする．

${\displaystyle \cos \theta \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}}$

■答

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{4}\pi }$

■解説

まず，${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$の範囲で

${\displaystyle \cos \theta =\frac{1}{\sqrt{2}}}$

を満たす${\displaystyle \theta }$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle \theta =\frac{1}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

${\displaystyle \cos \theta }$ は単位円上の点の ${\displaystyle x}$ 成分に相当することを考慮して，与式の不等式を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$と赤色の円弧の部分が重なっている部分が答えとなる．よって，答えは

${\displaystyle \frac{1}{4}\pi \leqq \theta \leqq \frac{7}{4}\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2024年9月3日