三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$ とする．

${\displaystyle -1<tan\left(\theta -\frac{\pi }{6}\right)\leqq \sqrt{3}}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$ ， ${\displaystyle \frac{11}{12}\pi <\theta \leqq \frac{3}{2}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{23}{12}\pi <\theta <2\pi }$

■解説

${\displaystyle \theta -\frac{\pi }{6}=t}$ ･･････(1)

とおくと

${\displaystyle 0\leqq \theta <2\pi }$

${\displaystyle 0-\frac{\pi }{6}\leqq \theta -\frac{\pi }{6}<2\pi -\frac{\pi }{6}}$

より

${\displaystyle -\frac{\pi }{6}\leqq t<\frac{11}{6}\pi }$

となる．

問題を ${\displaystyle t}$ を使って書き直すと

まず， ${\displaystyle 0\leqq t<2\pi }$ の範囲で

${\displaystyle \tan t=-1}$ ， ${\displaystyle \tan t=\sqrt{3}}$

を満たす ${\displaystyle t}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle t=\frac{3}{4}\pi ,\frac{7}{4}\pi }$

${\displaystyle t=\frac{1}{3}\pi ,\frac{4}{3}\pi }$

${\displaystyle \tan t}$ は単位円に引いた補助線 ${\displaystyle x=1}$ の直線上の点の ${\displaystyle y}$ 成分に相当することを考慮して， ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した不等式 ${\displaystyle -1<tant\leqq \sqrt{3}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle -\frac{\pi }{6}\leqq t<\frac{11}{6}\pi }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題答えとなる．その答えは

${\displaystyle -\frac{\pi }{6}\leqq t\leqq \frac{\pi }{3}}$ ， ${\displaystyle \frac{3}{4}\pi <t\leqq \frac{4}{3}\pi }$ ， ${\displaystyle \frac{7}{4}\pi <t<\frac{11}{6}\pi }$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を ${\displaystyle \theta }$ の範囲に書き換えると

${\displaystyle -\frac{\pi }{6}\leqq \theta -\frac{\pi }{6}\leqq \frac{\pi }{3}}$ 　→　${\displaystyle 0\leqq \theta \leqq \frac{\pi }{2}}$

${\displaystyle \frac{3}{4}\pi <\theta -\frac{\pi }{6}\leqq \frac{4}{3}\pi }$ 　→　${\displaystyle \frac{11}{12}\pi <\theta \leqq \frac{3}{2}\pi }$

${\displaystyle \frac{7}{4}\pi <\theta -\frac{\pi }{6}<\frac{11}{6}\pi }$ 　→　 ${\displaystyle \frac{23}{12}\pi <\theta <2\pi }$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月20日