三角関数不等式の問題

■問題

次の不等式を解け．ただし， ${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}}$ とする．

${\displaystyle 2\sin \left(3\theta +\frac{\pi }{4}\right)<1}$

■解説動画

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■答

${\displaystyle \frac{7}{36}\pi <\theta <\frac{\pi }{3}}$

■解説

${\displaystyle 3\theta +\frac{\pi }{4}=t}$ ･･････(1)

とおくと

${\displaystyle 0\leqq \theta <\frac{\pi }{3}}$

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq 3\theta +\frac{\pi }{4}<\frac{5}{4}\pi }$

より

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq t<\frac{5}{4}\pi }$

となる．

問題を ${\displaystyle t}$ を使って書き直すと

まず， ${\displaystyle 0\leqq t<2\pi }$ の範囲で

${\displaystyle \sin t=\frac{1}{2}}$

を満たす ${\displaystyle t}$ を求める．

以下の問題を参考にする．

${\displaystyle t=\frac{1}{6}\pi ,\frac{5}{6}\pi }$

${\displaystyle \sin t}$ は単位円上の点の ${\displaystyle y}$ 成分に相当することを考慮して， ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した不等式 ${\displaystyle \sin t<\frac{1}{2}}$ を満たす単位円上の円弧の範囲を赤線で示す．

${\displaystyle \frac{\pi }{4}\leqq t<\frac{5}{4}\pi }$ と赤色の円弧の部分が重なっている部分が ${\displaystyle t}$ を用いて書き直した問題の答えとなる．その答えは

${\displaystyle \frac{5}{6}\pi <t<\frac{5}{4}\pi }$ ･･････(2)

となる．(1)の関係から(2)を ${\displaystyle \theta }$ の範囲に書き換えると

${\displaystyle \frac{5}{6}\pi <3\theta +\frac{\pi }{4}<\frac{5}{4}\pi }$

${\displaystyle \frac{5}{6}\pi -\frac{\pi }{4}<3\theta +\frac{\pi }{4}<\frac{5}{4}\pi -\frac{\pi }{4}}$

${\displaystyle \frac{7}{12}\pi <3\theta <\pi }$

${\displaystyle \frac{7}{36}\pi <\theta <\frac{\pi }{3}}$

となる．

　

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最終更新日： 2025年2月20日